樹形図は、選択が続くときに起こり得る結果を枝分かれで示す図です。数学では「順番を区別するか」「同じ結果を重複して数えていないか」を確認するために使います。この記事ではコインを2回投げる例から始め、順列・組合せの違い、手書きとオンライン作図の手順まで説明します。
目次：基本｜2回のコイン投げ｜数え方｜作り方｜よくある質問。画面写真には旧版のものも含まれます。
樹形図の「点」と「枝」は何を表す？
点は途中までの選択、枝は次に取れる選択肢を表します。根元から最後の点までたどる一本の道筋が一つの結果です。まず「何を1回の選択と数えるか」を決め、各点から出る枝を漏れなく書きます。
決定木や分類図も枝分かれしますが、数学の樹形図では結果の列挙と数え上げが主目的です。枝が多すぎる場合は、表や乗法の法則も併用します。
例：コインを2回投げると何通り？
- 根元に「開始」と書き、1回目の結果「表」「裏」の2本を伸ばします。
- それぞれの先から、2回目の「表」「裏」を伸ばします。
- 最後の道筋を順に読みます。「表→表」「表→裏」「裏→表」「裏→裏」の4通りです。
- 「ちょうど1回だけ表」は「表→裏」「裏→表」の2通り。公平なコインで各道筋が同じ確率なら、確率は2/4＝1/2です。
ここでは投げる順序を区別します。「表→裏」と「裏→表」を一つにまとめると、確率の数え方が変わってしまいます。
順列と組合せで数え方が変わる
異なる3枚のカード A・B・C から2枚を選ぶ例を考えます。順番を区別して並べるなら、最初に3通り、次に残り2通りで 3×2＝6通り。樹形図の終点は AB、AC、BA、BC、CA、CB です。
順番を区別せず「2枚の組」を選ぶなら、AB と BA は同じ組です。結果は AB、AC、BC の 3通り。樹形図を描いた後に同じ組をまとめると違いが分かります。
| 問題 | AB と BA | この例の答え |
|---|---|---|
| 2枚を並べる | 別の結果 | 6通り |
| 2枚を選ぶ | 同じ結果 | 3通り |
手書き・GitMindで樹形図を作る手順
- 問題文の「選ぶ」「並べる」「戻す／戻さない」に印を付けます。
- 各段階で使える選択肢を一段ずつ枝として書きます。「戻さない」なら、次の段階から選んだものを除きます。
- 終点の数を数え、同じ組をまとめる必要があるか確認します。
- 簡単な問題で計算式の答えと一致するか照合します。
枝を後から入れ替えたい場合は、GitMind で中心から子ノードを追加しても構いません。ただし、図を描くツールが数え間違いを自動で直すわけではありません。無料アカウントのファイル数・ノード数・書き出し形式は現在の公式プランで確認してください。
上の旧版スクリーンショットにある AI フローチャート画面は作図例です。数学の樹形図では、生成結果をそのまま正解とせず、各枝と終点を自分で確認してください。
よくある質問
枝を全部描く必要はありますか？
小さな問題では、漏れと重複を発見するために全部描くと役立ちます。選択肢が多い場合は、最初の数段で規則を確認してから式を使います。
確率は終点の数だけで求められますか？
各道筋が同じ確率なら「条件に合う道筋÷全道筋」で求められます。枝ごとに確率が違う場合は、道筋ごとの確率を掛けてから合計します。
マインドマップと同じ図ですか？
見た目は似ていますが、マインドマップは発想整理にも使います。数学の樹形図では選択肢の漏れ、順序、重複を厳密に確かめます。
まとめ：枝を描く前に「順番を区別するか」を決め、最後に全ての道筋を点検することが大切です。
